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cos是什么比什么(cos随角度增大怎么变化)

频道：百科知识 日期： 浏览：1240


标题和作者


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4-3

      

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特别收录

几何原本第二卷

       命题12

       在钝角三角形中，钝角所对边上的正方形比夹钝角的两边上的正方形之和大一个矩形的二倍，该矩形为钝角的一边向外延长并作垂线，垂足所在的钝角边与垂足到钝角顶点之间的直线所围成的矩形。

      

       In obtuse-angled triangles the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle.

       图片

       ［I. 47］

      

       且AB上的正方形等于AD、DB上的正方形之和；

      

       ［I. 47］

      

       因此，CB上的正方形等于CA、AB上的正方形之和加上CA、AD所围成矩形的二倍；

      

       因此，CB上的正方形比CA、AB上的正方形之和大CA、AD所围成矩形的二倍。

      

       这就是所要证明的。

      

       命题13

       在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角两边上的正方形之和小一个矩形的二倍，该矩形为另一锐角向对边作垂线，垂足所在的锐角边与垂足到原锐角顶点之间的直线所围成的矩形。

      

       In acute-angled triangles the square on the side subtending the acute angle is less than the squares on the sides containing the acute angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the acute angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off within by the perpendicular towards the acute angle.

       图片

      

      

       设ABC是一个锐角三角形，B处的角为锐角，从点A作AD垂直于BC；

      

       我说，AC上的正方形比CB、BA上的正方形之和小CB、BD所围成矩形的二倍。

      

       这是因为，由于直线CB被任截于点D，所以CB、BD上的正方形之和等于CB、BD所围成矩形的二倍与DC上的正方形之和。

      

       ［II. 7］

      

       给它们分别加上DA上的正方形；

       因此，CB、BD、DA上的正方形之和等于CB、BD所围成矩形的二倍加上AD、DC上的正方形之和。

      

       但AB上的正方形等于BD、DA上的正方形之和，这是因为D处的角是直角；

      

       ［I. 47］

      

       而AC上的正方形等于AD、DC上的正方形之和；

      

       因此，CB、BA上的正方形之和等于AC上的正方形加上矩形CB、BD的二倍。

      

       于是，AC上的正方形比CB、BA上的正方形之和小CB、BD所围成矩形的二倍。

      

这就是所要证明的。

注释：

以上内容的来源请看下图


封面图

我们知道，三角形分为三大类：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形。几何原本按照分类讨论的数学思想，命题12讨论钝角三角形的余弦定理，命题13讨论锐角三角形的余弦定理。对于直角三角形而言，勾股定理是余弦定理的特例。对于一般三角形而言，余弦定理是勾股定理的推广和一般化。

我们知道，角θ在第一象限时，余弦值为正，在第二象限时，余弦值为负，且互补角的余弦值互为相反数。即：

cos θ=－cos（π－θ）

由此看出

c²=a²+b²－2ab cos C

公式中的2ab cos C这一项何时取正号“+”，何时取负号“－”。

当角C为钝角时，第二象限的余弦值为负，负负得正，公式中的2ab cos C这一项取正号“+”，即

c²=a²+b²+2ab cos C；

当角C为锐角时，第一象限的余弦值为正，公式中的2ab cos C这一项取负号“－”，即

c²=a²+b²－2ab cos C

我们把三角形画出来时，凭对面积的直觉也能够判断出这一项的正负号。

详情请看下图：


图说余弦定理

再看公式c²=a²+b²－2ab cos C，

上图所示的矩形面积为aq，可不可以画成平行四边形，面积不变，仍然是aq？

当然可以，可以这样画图：

画两个平行四边形，邻边分别是a和b，以a为底边，旋转b，把矩形调整为合适的平行四边形，高恰好是q，就行了。

那么，q和b是什么关系呢？

可以这样理解，b在a这条边上的射影就是q。

再补充两张图。


用托勒密定理推导余弦定理

      

余弦定理是三角形边角关系的重要定理，请大家一定要掌握，并彻底吃透。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。