几何原本的作者(几何原本哪个译本好)
此前，我用了22篇文章对《几何原本》第5卷“比例”中的 18条定义以及25个命题 进行了详细的讲解。
这一讲，我对第5卷的内容以及意义做一个简单的总结。
1、25个命题
第5卷“比例”共有25个命题，用我们现在的数学语言，相当于证明下面这些结论。结论中用到的字母m、n表示正整数，字母 a、b、c、d、e、f表示大于0的一般量(既可是有理数，也有可能是无理数)。
1、ma+mb+…=m(a+b+…) (命题1)
2、ma+na=(m+n)a (命题2)
3、m*(na)=m*n(a) (命题3)
4、如果a/b=c/d，那么ma/(nb)=mc/(nd) (命题4)
5、 ma-mb=m(a-b) (命题5)
6、ma-na=(m-n)a (命题6)
7、如果a/b=c/d，那么b/a=d/c (命题7)
8、如果a>b，那么a/c>b/c，c/b>c/a (命题8)
9、如果a/c=b/c，或者c/a=c/b，那么a=b (命题9)
10、如果a/c>b/c，或者c/b>c/a，那么a>b (命题10)
11、如果a/b=c/d，c/d=e/f，那么a/b=e/f (命题11)
12、如果a/b=c/d=e/f，那么a/b=(a+c+e)/(b+d+f) (命题12)
13、如果a/b=c/d，且c/d>e/f，那么a/b>e/f。 (命题13)
14、如果a/b=c/d，且a>c，那么b>d；
如果a/b=c/d，且a=c，那么b=d;
如果a/b=c/d，且a<c，那么b<d。
(命题14)
15、a/b=ma/(mb) (命题15)
16、如果a/b=c/d，那么a/c=b/d (命题16)
17、如果(a+b)/b=(c+d)/d，那么a/b=c/d (命题17)
18、如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d (命题18)
19、如果(a+b)/(c+d)=a/c，那么b/d=(a+b)/(c+d) (命题19)
20、有a、b、c与d、e、f两组量，且a/b=d/e，b/c=e/f，那么:
①如果a>c，那么d>f。
②如果a=c，那么d=f。
③如果a<c，那么d<f。
(命题20)
21、有a、b、c与d、e、f两组量，且a/b=e/f，b/c=d/e，那么:
①如果a>c，那么d>f。
②如果a=c，那么d=f。
③如果a<c，那么d<f
(命题21)
22、如果有a、b、c与d、e、f两组量，且满足a/b=d/e，b/c=e/f，那么a/c=d/f。 (命题22)
23、如果有a、b、c与d、e、f两组量，且满足a/b=e/f，b/c=d/e，那么a/c=d/f。 (命题23)
24、如果有a、b、c与d、e、f两组量，且满足a/b=d/e，c/b=f/e，那么(a+c)/b=(d+f)/e。 (命题24)
25、如果a/b=c/d，且a是其中最大的量，d是其中最小的量，那么a+d>b+c。 (命题25)
2、定义
第5卷“比例”共有18条定义，这里我就不一一展开介绍了，具体内容详见我之前写的文章《 《几何原本》—第五卷比例（1）—定义1～定义18 》
这里我重点介绍定义5，该定义是第5卷“比例”中的核心理论，后续的25个命题，基本是依据定义5的结论直接或者间接进行证明的。
定义5用现代的数学语言表述如下:
如果有四个大于0的量，分别为a（第一量）、b（第二量）、c（第三量）、d（第四量），且a/b=c/d。
那么将第一个量a与第三个量c都乘以任一正整数m，将第二个量b与第四个量d乘以任一正整数n，则有:
①如果ma>nb，那么mc>nd；
②如果ma=nb，那么mc=nd；
③如果ma<nb，那么mc<nd。
定义5虽然被归到定义中，但它更像是一条定理。《几何原本》没有对定义5进行证明，显然是将它当成了一条公理在使用。
第5卷中有些命题的证明，需要用到定义5的结论时，有些是顺着运用定义5的结论，有些则是逆着运用定义5的结论。
顺着运用定义5的结论很好理解，就是已知a/b=c/d，从而有后面①②③的结论。
而逆着运用定义5的结论，就是如果已知①②③的结论，那么可以得出a/b=c/d。用现代的数学语言表达就是:
如果a、b、c、d满足以下条件:
①如果ma>nb，那么mc>nd；
②如果ma=nb，那么mc=nd；
③如果ma<nb，那么mc<nd。
那么:a/b=c/d。
从这个角度来看，《几何原本》的作者欧几里得认为定义5无论是顺着来还是逆着来都是成立，且定义5无须证明，类似于一条公理。
1、背景
最开始古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物都可以用整数或者整数之比表示。
后来毕达哥拉斯和他的学派发现了勾股定理并进而发现类似根号2这类无理数无法用整数和整数之比(分数)表示，这时古希腊人一时不知道如何面对无理数。(古希腊人发现无理数的过程详见我之前写的文章《勾股定理是如何引发第一次数学危机的？》)
在代数上，古希腊人无法确定无理数是不是数，也不知道该用什么来表示无理数，自然就无法处理与无理数相关的运算。
不过在几何上，恰恰能够弥补这方面的不足，例如根号2，我们可以通过勾股定理用画直角三角形的方法画出长度为根号2的线段。
于是古希腊人很自然的将注意力转向了几何学，在这样的背景下发现了第5卷“比例”中的这些结论。
今天的学者研究认为，《几何原本》第5卷主要由古希腊的数学家 欧多克索斯 发现，并经 欧几里得 重新编排收录进《几何原本》的。
2、意义
《几何原本》第5卷对数学的发展产生了较大影响，被认为解决了无理数的问题。
第5卷被人认为是欧几里得几何中的最大成就，同《几何原本》任何其他部分相比，它的内容被人讨论得最多。
英国近代数学史家希思认为（ 希思的英译本《几何原本》是最权威的《几何原本》标准译本 ）“希腊数学中没有什么发现比《几何原本》第五卷中的理论更能令人夸耀。”
霍金 在《上帝创造整数》一书追溯了数学史上2500年间17位数学家31篇著作，该书对《几何原本》第五卷全部25个命题进行了详细的讲解，而第一卷中仅有命题47 勾股定理 被收录了，从中可见第五卷内容价值很高。
《几何原本》第5卷相当于一个新的开端，里面命题的证明没有用到第1-第4卷的结论。而后续“第6卷-相似图形”、“第7卷-初等数论”、“第8卷-连比例”、“第9卷-数论的应用”以及“第10卷-无理量”中命题的证明都需要用上第5卷的定义或者结论。
好了，这一讲就到这里了，后面我将继续《几何原本》“ 第6卷 相似图形”内容的讲解。
我是一个致力于科普数学、物理的科技媒体。想了解更多相关的知识，欢迎关注我的 微信公众号 科学发现之历程 ，期待你的到来。
