轨迹方程(求动点轨迹方程的十种方法)
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；
⒉写出点M的集合；
⒊列出方程=0；
⒋化简方程为最简形式；
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系；
②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；
③列式——列出动点p所满足的关系式；
④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
典型例题
例1、已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2点向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P点，求P点的轨迹方程.
分析：注意图形的几何性质，联想到双曲线的定义，可考虑用定义法求轨迹方程.
解答：如图，连结OP，则由角平分线的性质，
得|AQ|=|F2Q|.
由三角形中位线性质，得.
.
（若点Q在双曲线的左支上时，应为）.
即.∴P点轨迹方程即为.
例2、设动圆C的对称轴平行于坐标轴，长轴长为4，且以y轴为左准线，左顶点A在抛物线y2=x-1上移动，求这些椭圆的中心C的轨迹方程.
分析：A点和C点是一对相关点，设法将A点的坐标用C点坐标表达，用相关点法求C的轨迹方程.
解答：设中心C的坐标（x,y），则A的坐标为（x-2,y），又A在抛物线y2=x-1上移动.
∴y2=(x-2）-1，即y2=x-3，此即所求C的轨迹方程.
另外，问题也可用参数法求解.
∵左顶点A在抛物线y2=x-1上移动，
∴设A(t2+1,t)(t为参数）.
∵y=yA=t，①
∵2a=4，∴a=2，∴x=xA+2=t2+3. ②
由①、②消去参数t，得中心C的轨迹方程是y2=x-3.
例3、如图，P是抛物线C：上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.
分析：这是2004年全国高考题（福建卷）理科的压轴题，依题意直线l的方程可用P的横坐标表达，于是选择以P的横坐标为参数，用参数法求解动点M的轨迹方程.
解答：设P(x1,y1），M(x0,y0），其中x1≠0.
由，①
由，∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∴直线l的斜率，
直线l的方程为 ②
联立①②消去y，得.
∵M为PQ的中点，∴
消去x1，得.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
另外，此题属"中点弦"的问题，可考虑用"点差法"来处理.探求x0与x1的关系.
设P2(x2,y2），于是由.
得，
则，
将上式代入②并整理，得.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
