法线和切线的关系(空间曲面的切线和法线的关系)
随着时间来到9月份，23考研的考研大纲也随之更新了。 此篇文章就是对【23考研--数学】学科进行最细最详细的分析与解读，其中包括各位数学名师老师的解析归纳与总结。
本系列只有一篇，即为【数学一/数学二/数学三合集篇】
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祝23考研每一个考研的小伙伴们都能一战成硕、成功上岸！
2023考研数学大纲解析——@Mr丶鹏
2022.9.16，2023考研英语大纲终于揭晓。 一般而言，每年考研数学中的新增考点，往往（基本上一定）也是当年的考查热点重点，其中包括【基本知识】、【题型变化】等内容。
本次2023数学大纲 与2022考纲相比—— 【考试内容不变，试卷难度稳定】 。这对于广大考生来说，是一个好消息！但同时，我们也需要去简单读一读此次23考研数学大纲的内容，这样才可以避免 “用前朝的尚方宝剑，斩本朝的贪官馋臣” 这样的闹剧。
尚方宝剑——上斩昏君，下斩馋臣
你用明朝的剑，来斩清朝的官？
数学考试是为 高等院校和科研院所 招收 工学、经济学、管理学硕士研究生 而设置的具有选拔性质的全国招生考试科目，其目的是科学公平、有效地测试考生是否具备继续攻读硕士学位所需要的数学知识和能力， 评价的标准是高等学校优秀本科毕业生能达到的及格或及格以上水平 ，以利于各高等院校和科研院所择优选拔，确保硕士研究生的招生质量。
Ⅰ 考试性质
要求考生比较系统地理解数学的 【基本概念】 和 【基本理论】 ,掌握数学的 【基本方法】 （ 即我们常说的数学的“三基” ），具备 【抽象思维能力】、【逻辑推理能力】、【空间想象能力】、【运算能力】 和 【综合运用】 所学的知识分析问题和解决问题的能力。
Ⅱ 考查目标
根据 工学、经济学、管理学 各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求,硕士研究生招生考试数学试卷分为3种，
招生专业须使用的食物种类规定如下:
一、须使用数学（一）的招生专业
Ⅲ 试卷分类及使用专业-1
Ⅲ 试卷分类及使用专业-2
二、须使用数学（二）的招生专业
工学门类中的 纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程 5个一级学科中所有的二级学科、专业.
Ⅲ 试卷分类及使用专业-3
三、须选用数学(一）或数学（二）的招生专业（由招生单位自定)
工学门类中的 材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程 等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业选用数学(一)，对数学要求较低的选用数学（二)。
Ⅲ 试卷分类及使用专业-4
四、须使用数学(三）的招生专业
Ⅲ 试卷分类及使用专业-5
一、试卷满分及考试时间
各卷种试卷满分均为 150分 ，考试时间为 180分钟。
二、答题方式
答题方式为 闭卷、笔试。
Ⅳ 考试形式和试卷结构-1
三、试卷内容结构
四、试卷题型结构
各卷种试卷题型结构均为:
Ⅳ 考试形式和试卷结构-2
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法―函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立。数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:
单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
两个重要极限
函数连续的概念函数同断点的类型初等函数的连续性比区间上连续函数的性质
V 考试内容和考试要求-数学（一）-1
V 考试内容和考试要求-数学（一）-2
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-3
V 考试内容和考试要求-数学（一）-4
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分﹐曲率的概念曲率圆与曲率半径。
V 考试内容和考试要求-数学（一）-5
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-6 V 考试内容和考试要求-数学（一）-6
V 考试内容和考试要求-数学（一）-7
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质―基本积分公式―定积分的概念和基本性质―定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用。
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考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-9
V 考试内容和考试要求-数学（一）-10
四、向量代数和空间解析几何
考试内容
向量的概念﹑向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程﹑空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
V 考试内容和考试要求-数学（一）-11
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-12
V 考试内容和考试要求-数学（一）-13
五、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极展与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
V 考试内容和考试要求-数学（一）-14
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-15
V 考试内容和考试要求-数学（一）-16
六、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系惇格林(Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系惇高斯(Gauss)公式―斯托克斯(Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用。
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考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-18
七、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念﹑收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛﹑函数项级数的收敛与和函数的概念幂级数及其收敛、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质﹑简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式―函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数﹐狄利克雷（Dirichlet）定理函数在l-4]上的傅里叶级数函数在[0]上的正弦级数和余弦级数。
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考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-20
V 考试内容和考试要求-数学（一）-21
八、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程―可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程﹑微分方程的简单应用。
V 考试内容和考试要求-数学（一）-22
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-23
V 考试内容和考试要求-数学（一）-24
一、行列式
行列式的概念和基本性质、行列式按行(列)展开定理
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-25
二、矩阵
矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价、分块矩阵及其运算.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-26
三、向量
向量的概念、向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量空间及其相关概念、n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法、规范正交基、正交矩阵及其性质.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-27
四、线性方程组
线性方程组的克拉默(Cramer)法则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间、非齐次线性方程组的通解.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-28
五、矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量的概念及性质、相似变换及相似矩阵的概念及性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-29
六、二次型
二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、用正交变换和配方法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-30
一、随机事件和概率
随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-31
二、随机变量及其分布
随机变量、随机变量分布函数的概念及其性质、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度、常见随机变量的分布、随机变量函数的分布.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-32
三、多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布、二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度、随机变量的独立性和不相关性、常用二维随机变量的分布、两个及两个以上随机变量简单函数的分布.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-33
四、随机变量的数字特征
随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质、随机变量函数的数学期望、矩、协方差、相关系数及其性质.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-34
五、大数定律和中心极限定理
切比雪夫(Chebyshev)不等式、切比雪夫大数定律、伯努利(Bernoulli)大数定律、辛钦(Khinchine)大数定律、棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理、列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-35
六、数理统计的基本概念
总体、个体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差和样本矩、卡方分布、t分布、F分布、分位数、正态总体的常用抽样分布.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-36
七、参数估计
点估计的概念、估计量与估计值、矩估计法、最大似然估计法、估计量的评选标准、区间估计的概念、单个正态总体的均值和方差的区间估计、两个正态总体的均值差和方差比的区间估计.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-37
八、假设检验
显著性检验、假设检验的两类错误、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.
考试要求
V 考试内容和考试要求-数学（一）-38
与数学（一） Part 1：高等数学相同
与数学（一） Part 2：线性代数相同
与数学（一） Part 1：高等数学相同
与数学（一） Part 2：线性代数相同
与数学（一）Part 3：概率论与数理统计相同
一、直接计算
数列极限直接计算借助海涅定理，若它是未定式则可化为函数极限进行计算，当然其中还有一系列公式:1、当出现数列需要分情况讨论即有子数列时，该数列极限存在的重要条件为各个子数列均存在且相等;2、多项和开n次方的极限以及此公式的变形。
高等数学重难点内容分析-1
二、夹逼准则
本质上夹逼准则函数极限也可用的，比如:无穷小量乘有界量等于无穷小量，在考研题中出现频路不高但也是有考察的，而更多是考察它的“夹住与逼近”，什么时候用(大同小异)以及怎么用(寻找不等关系)都是需要掌握的。
高等数学重难点内容分析-2
三、定积分定义
定积分定义去年考察到了一个5分小题，也是对此知识点的一个挖掘，提醒各位备考人在学习知识时注重知识内部结构，而不是简单的背公式。定积分定义的基本形式。需要知道它的推导过程微元法中的分割等n份，近似中取右端点。为了贴合现在的考试，就不能仅仅停留在公式了，关于公式的相关变形都要会，比如你可以思考一下分2n 分取左端点是怎么的形式以及分n份取中间点的形式。
高等数学重难点内容分析-3
四、单调有界的收敛准则
单调有界收敛准则的定理内容相对比较简单:单调有界的数列必然收敛(单增找上界单减找下界)。关于它的考察16年左右考过好几次，考到了都是压轴题的，所以冲击理想院校的学生需要拿下它的。它的难点主要集中在题型的多变性以及综合性上，首先需要自己快速识别出题的考察点,其次找准备题目信息使用该定理或者由已知信息找出单调性与有界性。该题型又可大致分为递推式数列极限(思路:大胆假设，小心求证;证明:数学归纳法，不等关系)以及其他抽象数列(一般借助题目信息后减前找单调以及有界信息)。
高等数学重难点内容分析-4
1、线性方程组。
线性方程组的主要内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。
主要题型有—— 线性方程组的求解、方程组解的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
线性方程组与向量的线性表示、线性相关、线性无关以及秩关系密切，易综合出题。齐次线性方程组更多的关注非零解，齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。秩的定义是极大线性无关组中的向量个数,秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。
线性相关(无关)、线性方程组解的判定形成了逻辑链条，判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解,且齐次线性方程组的解向量可以通过线性无关的解向量(基础解系)线性表示。非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的组数就是非齐次线性方程组的解。
线性代数重难点内容分析-1
2、矩阵的相似性
此部分需要重点关注的是矩阵的相似对角化,而矩阵的相似对角化常常与二次型相结合在一起，任何一个二次型都对应实对称矩阵，而实对称矩阵又具有某些良好的性质，必可正交相似对角化，其过程就是相似对角化在矩阵为实对称矩阵时的应用。因此，这部分常以二次型为载体考查，这部分知识灵活性强，综合性高，需要考生具有扎实的基础，深刻理解相关概念和性质，熟悉常用结论，并且在做题的过程中进行总结。
线性代数重难点内容分析-2
该科目的学科特点与其他两科有所区别,对考生们在理解和计算上造成阻碍，这也是导致考生得分率不高的原因之一。其学科特点总结归纳可列为以下三点:
1、研究对象为随机事件和随机变量。
他们的随机性让很多考生无法深入理解其含义，难以从实际应用题目中抽象出数学模型，导致做题效率低下或不会做;
概率论与数理统计考试特点分析-1
2、逻辑清晰，题型固定，需要记忆大量公式和性质。
概率论从随机事件概念出发，揭示了事件随机性，进而为了运用高级的数学工具引入随机变量的概念。围绕概率这一概念，提出计算概率的工具:分布函数、分布率和概率密度。然后从一维随机变量推广到多维随机变量，进而研究随机变量函数的概率。另一方面又从数字特征:期望和方差等的角度，进步揭示了变量的随机性。从头至尾逻辑清晰明了。而题型上也相对固定，考生们需熟记各个工具的性质和大量的计算公式，熟练相应地运用方法，某种程度上可以极大增加得分率。
概率论与数理统计考试特点分析-2
3、与《高等数学》相结合。
可以说，《概率论与数理统计》帮助我们解决生活中的问题,而《高等数学》帮助我们解决《概率论》中的问题。《概率论与数理统计》中的分布函数、概率密度、随机变量函数分布、数字特征等很多概念和计算都是通过高等数学来解决,所以,如果考生《高等数学》的基础不够扎实，对于概率论与梳理统计》的得分将有很大影响。当然，仅从命题角度，《概率论与数理统计》中运用的高数知识，难度一般不会超过同年考研中《高等数学》的考试难度。
概率论与数理统计考试特点分析-3
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2023考研，我 一定会上岸！
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祝23考研每一个考研的小伙伴们都能一战成硕、成功上岸！
