椭圆的极坐标方程(椭圆极坐标p是多少)
* 本文获授权转载自上海《数学教学》2019年第2期。
IMMC 2017中华赛区命题A及其解法摘要
台北市立中山女子高级中学
上海中学国际部
注1：台北市立中山女子高级中学参赛队员为陈芊如、涂瑾瑜、陈品儒、王宣茹和林敬家，指导老师为林淑娥、洪瑞英、吴汀菱和李昌泽。
注2：上海中学国际部参赛队员为黄婷、金子意、蒋诺亚和郭雨珂，指导老师为张明欣。
《数学教学》编者按：
国际数学建模挑战赛IMMC （International Mathematical modeling chaiienge）是一项面向中学生的国际性数学建模竞赛。台北市立中山女子高级中学和上海中学国际部都组队参加了IMMC 2017中华赛区的比赛，取得了较好的成绩。为了使广大中学数学教师了解IMMC的试题及其解题特点，编者将上述两所中学对IMMC 2017的命题A（中华赛区）的解答情况作简单介绍。
1 命题A“通过卫星遥感技术测量地球”简介
1.1 背景
地球是人类赖以生存的家园，对其形状和各种物理现象的精细化认识一直是人们追求的目标。众所周知，地球形状近似椭球体，但其表面实际是一个凹凸不平的不规则体，有海洋、高山、平原、丘陵、沙漠等。精确测量地球的真实形状和大小是卫星遥感技术的主要应用方向之一。
1.2 说明
根据开普勒定律，卫星是在一个围绕地球的椭圆轨道上运动，这个椭圆轨道可以用六个轨道要素（也叫轨道根数）描述。如图1所示，以不转动地心赤道坐标系XYZ为参考，六个轨道要素是：半长轴, 偏心率e，轨道倾角i，近地角点距ω，升交点赤经Ω，过近地点时刻τ。轨道上的卫星位置可以用这六个参数确定。
(1) 轨道倾角i : 卫星轨道平面与地球赤道平面之间的夹角。
(2) 半长轴: 确定轨道大小的参数。圆轨道而言，就是圆的半径；对于椭圆轨道而言，就是椭圆的半长轴。
(3) 偏心率e: 确定轨道形状的参数。当e = 0时，轨道为圆，当0 < e < 1时，轨道为椭圆。
(4) 升交点赤经Ω: 确定轨道平面在空间位置的参数，沿着赤道方向，春分点至升交点（卫星由南半球至北半球穿过赤道平面的点）之间的角度。
(5) 过近地点时刻τ : 卫星运行中通过近地点的时刻。
(6) 近地角点距ω: 沿着卫星运动的方向，从轨道升交点度量至近心点的角度，也就是交点线与近地点矢径延长线之间的夹角。
图1 卫星轨道
雷达高度计（Altimeter，ALT）是遥感卫星的一种重要传感器设备，可以测量卫星与其在地球表面投影点（称星下点）之间的距离，也就是卫星在地球表面上方的高度。卫星高度计最初的成果就是测量地球形状及大地水准面，进而计算全球重力场。通过卫星高度计获取的数据已广泛地应用于海洋学、大地测量学、地球物理学、气候学、水文地理学和海洋生物学等领域的研究。尤其是在海洋学研究方面，卫星高度计为研究全球海平面、海洋环流及其随时间的变化提供了一种强有力的工具。中国的天宫二号空间站以及多颗遥感卫星上都装载了这种设备。
卫星雷达高度计的基本原理是通过向星下点发射无线电脉冲并测量从地球表面返回的回波的时间间隔，来测量卫星到反射表面之间的距离，如果时间间隔是ΔT，则高度
，其中c是光速。如图2所示，由于雷达高度计天线尺寸较小，其发射的无线电信号是在一个锥形空间里向下传播的，锥角θ一般是1°~2°，照射到地球表面的范围近似是一个圆形（称为足印Footprint）。高度计的测量值实际是卫星与星下点间的距离，但简单起见，可近似认为这个圆形区域内的地球表面离卫星的距离相同。另外，雷达高度计以很快的重复频率发射脉冲，相邻的足印区隔得很近，这些圆形的足印区连在一起就形成了一个带状的观测区。
图2 卫星高度计原理
1.3 问题
（1）根据卫星轨道的简单模型，建立用雷达高度计测量数据推算地球表面形状的数学模型。
（2）对于一颗给定轨道参数及其雷达高度计锥角（或足印区大小）的卫星，建模分析最少需要多长时间才能把地球尽可能完整、均匀地测量一遍？选择一颗在轨的遥感卫星，将其参数代入所建立的模型，计算该卫星完整测量地球所需的时间。
（3）如果在一颗卫星上可以安装多个高度计，该卫星如何只利用这些高度计的测量数据确定自己的空间位置？
IMMC2017A题主命题人是中国空间技术研究院首席研究员、卫星总设计师、总指挥张润宁博士。2017年6月17日，IMMC师生在同济大学数学学院聆听张博士远程报告之后，与IMMC国际专家组成员合影留念。
2 解法摘要
2.1 对问题（1）的解法讨论
一、台北中山女子高级中学队的解法
步骤一：设卫星S的椭圆形轨道的方程式为
地球的球心O在椭圆的一个焦点处，焦距为2k。由卫星轨道参数α和e，可得方程式（1）中的
令x=acosθ，y=bsinsθ，则卫星S的坐标为S(x, y)=(acossθ, bsinsθ)。
并利用距离公式得到卫星 S(x, y)=(acossθ, bsinsθ) 和地球球心 O(-k, 0) 的距离
图3
步骤二：设A是卫星S在地表上的星下点，即直线SO经过地表上的点A。
于是点A的高度
（见图4），其中 R 为地球半径，
为卫星S与其星下点A之间的距离。
图4
步骤三：因为雷达高度计测量到
，其中c是光速，ΔT是卫星S发出无线电脉冲往返的时间。
我们取地球半径 R= 6371（km），因此地表高度
《数学教学》编者注：由于卫星是运动着的，因此选手应该给出当卫星S在位置 (acossθ, bsinsθ) 时，对应的星下点A的坐标（或经纬度）。
二、上海中学国际部的解法
（1）模型假设
假设: 在卫星雷达测高计发射和接受信号的短暂时间内地球和卫星皆保持静止状态。
解释：雷达测高计信号发射的速度等同于光速（3×10 8 米/秒），而地球的自转速度大约为465米/秒。因此在卫星信号发射回收的时间差内，卫星和地球的自转角度极小，几乎可以忽略不计。为了提高该模型计算的简易度，在卫星雷达信号发射至反射回卫星的时间内，假设地球处于静止状态。
（2）模型变量
以下是本模型所需的变量。
（3）模型建立
根据卫星的已知参数，如图5，建立卫星的椭圆形轨道的极坐标方程为
图5
在时刻t，夹角f是t的函数，因此卫星S的位置、卫星与地心的距离r也都是t的函数，且有 h=r-H-R。其中 ，光速
km/s。于是得到卫星S的“星下点”G的高度
将地球上不同位置所得出的不同的h值相比较并排列在一起，便可得出地球表面的形状。
《数学教学》编者注：卫星S是动态的，要“将地球上不同位置所得出的不同的h值相比较并排列在一起”，必须计算出卫星S在某一时刻t时的“星下点”G所在位置的坐标（或经纬度），才能在该位置上赋予其高度h。
2.2 对问题（2）的解法讨论
一、台北中山女子高级中学队的解法
要判断卫星能否完整测量整个地球，我们必须考虑它的轨道倾角和偏心率。只有当轨道所在平面与赤道所在平面的倾角为90度或接近90度的卫星才能完整测量地球，所以我们选择以极轨道卫星建立模型。所谓极轨道卫星就是轨道所在平面与赤道所在平面的倾角为90度，且轨道经过南北极上空的卫星。
我们将卫星照射到地球表面的范围称为“足印区”，密集的足印区形成“足印带”，设足印带的宽度为d（km）。d可由卫星高度H和雷达高度计的锥角x°推得 d=2H·tanx°（如图6）。
图6
查资料得知，卫星绕地球一周所需的时间为
其中r为卫星与地心的距离，即r=H+R，H为卫星到地表的距离，R为地球半径，G为万有引力常数，M为地球质量。
由于卫星绕地球一周形成的足印带面积约为d×地球周长，所以完整测量一遍地球的
《数学教学》编者注：极轨道卫星的每次环绕的足印带都经过南、北极，即在南北极附近，每次环绕的足印带都会重叠，所以要全部覆盖地球，足印带的条数一定大于上述条数。
二、上海中学国际部的解法
本研究采用在轨卫星“海洋二号”作为观察对象，运用此卫星的原因如下：
1）海洋二号是我们唯一通过网络搜寻到数据的在轨卫星，使计算相对比较精确。
2）根据互联网所得数据，海洋二号卫星轨道呈圆形，不会产生近地点与远地点，因此相对椭圆形轨道将更加容易计算。
（1）模型假设
假设1：完整覆盖赤道等同于覆盖了整个地球表面。
解释：卫星轨道与赤道形成一定夹角。因为赤道半径最长，卫星在一个周期内，其足印带可以两次经过赤道，在赤道上留下两段足印。当覆盖完整赤道带时，剩余表面积将完全被包括在环形测量之中。
《数学教学》编者注：这里需要限制卫星轨道平面与赤道平面的夹角范围，例如当二者的夹角为45度时，足印带永远也到不了南北极地区。
（2）模型变量
在此模型中，T，h，r，v 均为已知，n，θ，d f 为需要求得的变量。
（3）模型建立
地球在卫星沿轨道运行期间也在进行自转运动，为方便计算，计算出半个卫星周期内地球转角
因此半个周期内在赤道带上覆盖的两个足印带将会呈现夹角
卫星雷达探测器扫描地表时产生的圆形足印区的直径
我们通过Java程序进行对赤道带足印位置的追踪。
1）依次增加 δ 值，并在其大于360度后减去360。
2）将数值保存在动态数组中，模拟卫星足印带在赤道上的覆盖点。
3）在数组中查找与该点相邻两点，即数值最接近的两个，将其与其相邻点的距离与临界值 d t 进行比对，如果小于临界值，则代表该两个足印之间没有区域未被足印区覆盖。为方便统计分析，我们将足印位置以角度 d t 储存，将距离转化为角度单位
当数组中所有点与其相邻两点距离均小于 d t 时，意味着赤道带将会被足印区完全覆盖，程序停止运行，并给出最终结果周期数n。
代入具体卫星运行周期T高度h，以及周期数n，便可得出最后问题所求总覆盖时间
《数学教学》编者注：选手没有说明临界值 d t 是如何确定的，d t 的精度决定了卫星运行的周期数n和全覆盖的时间t，因此这个解法无法说明是“最少时间”。
2.3 对问题（3）的解法讨论
一、台北中山女子高级中学队的解法
为了确定卫星的位置，假设卫星上装设了四个高度计，那么可以同时测量卫星与四个地面接收站的距离（见图7），我们将距离以及地面接收站的空间坐标替换成三元一次方程式，进而算出卫星在空间的坐标。
图7
假设卫星的空间坐标为 S(x,y,z)，而四个地面观测站的坐标分别是A(a 1 ,a 2 ,a 3 )、B(b 1 ,b 2 ,b 3 )、C(c 1 ,c 2 ,c 3 )、D(d 1 ,d 2 ,d 3 )，卫星测出与四个地面观测站的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 、h 4 。则
即
经过整理，我们可以得到
因此，当
时，S(x,y,z)有唯一解，就能得到卫星的位置。
《数学教学》编者注：为确保这个问题有唯一解，必须要强调所选取的四个接收站不在同一平面上。
二、上海中学国际部的解法
在可以运用多个雷达测高计的情况下，我们提出了“三角卫星坐标模型”。该模型将三个大小及功率相同的测高计均匀分布在一个定轨卫星中心的周围，并构成一个等边三角形，以此来确定该卫星的空间位置（如图8）。
图8
该模型首先通过卫星高度计的已知轨道参数，运用开普勒方程和高斯方程对地球上的坐标进行经纬度的转换，进而计算得三个高度计的经纬度，将三个高度计的经纬度的平均数作为卫星的经纬度。再根据卫星三个高度计至地心的平均距离作为该卫星距离地心的距离，由此确定该卫星的空间位置。
《数学教学》编者注：一个卫星的几何尺寸不可能很大，安装在卫星上的三个测高仪的运行轨迹几乎同时同位。在这种情况下，用三个测高仪同时测量到地心距离，所得的数据必定非常接近，信息量几乎等同于仅用一个测高仪获得的信息。
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相关阅读： 第四届国际数学建模挑战赛 IMMC 2018秋季赛B题点评
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IMMC 2017 关于“通过卫星遥感技术测量地球”的建模题让小编想到了今年大热的科幻影片《流浪地球》。该影片是根据刘慈欣同名小说改编，影片故事设定在2075年，讲述了太阳即将毁灭，已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事。
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